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Valor esperado de una distribución binomial

Valor esperado de una distribución binomial

Las distribuciones binomiales son una clase importante de distribuciones de probabilidad discretas. Estos tipos de distribuciones son una serie de norte ensayos independientes de Bernoulli, cada uno de los cuales tiene una probabilidad constante pags del éxito. Como con cualquier distribución de probabilidad, nos gustaría saber cuál es su significado o centro. Para esto realmente estamos preguntando, "¿Cuál es el valor esperado de la distribución binomial?"

Intuición vs. Prueba

Si pensamos cuidadosamente en una distribución binomial, no es difícil determinar que el valor esperado de este tipo de distribución de probabilidad es notario público. Para algunos ejemplos rápidos de esto, considere lo siguiente:

  • Si lanzamos 100 monedas, y X es el número de cabezas, el valor esperado de X es 50 = (1/2) 100.
  • Si estamos tomando una prueba de opción múltiple con 20 preguntas y cada pregunta tiene cuatro opciones (solo una de las cuales es correcta), entonces adivinar al azar significaría que solo esperaríamos obtener (1/4) 20 = 5 preguntas correctas.

En ambos ejemplos vemos queE X = n p. Dos casos no son suficientes para llegar a una conclusión. Aunque la intuición es una buena herramienta para guiarnos, no es suficiente formar un argumento matemático y demostrar que algo es cierto. ¿Cómo demostramos definitivamente que el valor esperado de esta distribución es de hecho notario público?

A partir de la definición del valor esperado y la función de masa de probabilidad para la distribución binomial de norte pruebas de probabilidad de éxito pags, podemos demostrar que nuestra intuición coincide con los frutos del rigor matemático. Necesitamos ser algo cuidadosos en nuestro trabajo y ágiles en nuestras manipulaciones del coeficiente binomial que proporciona la fórmula para las combinaciones.

Comenzamos usando la fórmula:

E X = Σ x = 0norte x C (n, x) pX(1-p)n - x.

Dado que cada término de la suma se multiplica por X, el valor del término correspondiente a x = 0 será 0, y así podemos escribir:

E X = Σ x = 1norte x C (n, x) p X (1 - p) n - x .

Al manipular los factoriales involucrados en la expresión para C (n, x) podemos reescribir

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Esto es cierto porque:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Resulta que:

E X = Σ x = 1norte n C (n - 1, x - 1) p X (1 - p) n - x .

Factorizamos el norte y uno pags de la expresión anterior:

E X = np Σ x = 1norte C (n - 1, x - 1) p x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .

Un cambio de variables. r = x - 1 Nos da:

E X = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) p r (1 - p) (n - 1) - r .

Por la fórmula binomial, (x + y)k = Σ r = 0 kC (k, r) xr yk - r el resumen anterior puede reescribirse:

E X = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np.

El argumento anterior nos ha llevado muy lejos. Desde el principio solo con la definición del valor esperado y la función de masa de probabilidad para una distribución binomial, hemos demostrado lo que nuestra intuición nos dijo. El valor esperado de la distribución binomial. B (n, p) es n p.