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Definición y uso de la unión en matemáticas

Definición y uso de la unión en matemáticas

Una operación que se usa con frecuencia para formar nuevos conjuntos a partir de los antiguos se llama unión. De uso común, la palabra sindicato significa una reunión, como los sindicatos en el trabajo organizado o el discurso del Estado de la Unión que el presidente de los Estados Unidos hace antes de una sesión conjunta del Congreso. En el sentido matemático, la unión de dos conjuntos retiene esta idea de unir. Más precisamente, la unión de dos conjuntos. UNA y si es el conjunto de todos los elementos X tal que X es un elemento del conjunto UNA o X es un elemento del conjunto si. La palabra que significa que estamos usando una unión es la palabra "o".

La palabra "o"

Cuando usamos la palabra "o" en las conversaciones diarias, es posible que no nos demos cuenta de que esta palabra se usa de dos maneras diferentes. El camino generalmente se infiere del contexto de la conversación. Si le preguntaran "¿Le gustaría el pollo o el bistec?", La implicación habitual es que puede tener uno u otro, pero no ambos. Compare esto con la pregunta: "¿Le gustaría mantequilla o crema agria en su papa horneada?" Aquí "o" se usa en el sentido inclusivo en el sentido de que puede elegir solo mantequilla, solo crema agria o mantequilla y crema agria.

En matemáticas, la palabra "o" se usa en el sentido inclusivo. Entonces la declaración, "X es un elemento de UNA o un elemento de si"significa que uno de los tres es posible:

  • X es un elemento de justo UNA y no un elemento de si
  • X es un elemento de justo si y no un elemento de UNA.
  • X es un elemento de ambos UNA y si. (También podríamos decir que X es un elemento de la intersección de UNA y si

Ejemplo

Para un ejemplo de cómo la unión de dos conjuntos forma un nuevo conjunto, consideremos los conjuntos UNA = {1, 2, 3, 4, 5} y si = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Para encontrar la unión de estos dos conjuntos, simplemente enumeramos cada elemento que vemos, teniendo cuidado de no duplicar ningún elemento. Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 están en uno u otro conjunto, por lo tanto, la unión de UNA y si es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Notación para la Unión

Además de comprender los conceptos relativos a las operaciones de teoría de conjuntos, es importante poder leer los símbolos utilizados para denotar estas operaciones. El símbolo utilizado para la unión de los dos conjuntos. UNA y si es dado por UNAsi. Una forma de recordar que el símbolo ∪ se refiere a la unión es notar su parecido con una U mayúscula, que es la abreviatura de la palabra "unión". Tenga cuidado, porque el símbolo de unión es muy similar al símbolo de intersección. Uno se obtiene del otro mediante un giro vertical.

Para ver esta notación en acción, consulte el ejemplo anterior. Aquí tuvimos los sets UNA = {1, 2, 3, 4, 5} y si = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Entonces escribiríamos la ecuación establecida UNAsi = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Unión con el conjunto vacío

Una identidad básica que involucra la unión nos muestra lo que sucede cuando tomamos la unión de cualquier conjunto con el conjunto vacío, denotado por # 8709. El conjunto vacío es el conjunto sin elementos. Así que unir esto a cualquier otro conjunto no tendrá ningún efecto. En otras palabras, la unión de cualquier conjunto con el conjunto vacío nos devolverá el conjunto original.

Esta identidad se vuelve aún más compacta con el uso de nuestra notación. Tenemos la identidad: UNA ∪ ∅ = UNA.

Unión con el conjunto universal

Para el otro extremo, ¿qué sucede cuando examinamos la unión de un conjunto con el conjunto universal? Dado que el conjunto universal contiene todos los elementos, no podemos agregar nada más a esto. Entonces la unión o cualquier conjunto con el conjunto universal es el conjunto universal.

Nuevamente, nuestra notación nos ayuda a expresar esta identidad en un formato más compacto. Para cualquier conjunto UNA y el conjunto universal U, UNAU = U.

Otras identidades que involucran a la Unión

Hay muchas más identidades de conjuntos que implican el uso de la operación sindical. Por supuesto, siempre es bueno practicar usando el lenguaje de la teoría de conjuntos. Algunos de los más importantes se indican a continuación. Para todos los conjuntos UNAy si y re tenemos:

  • Propiedad reflexiva: UNAUNA =UNA
  • Propiedad conmutativa: UNAsi = siUNA
  • Propiedad asociativa: (UNAsi) ∪ re =UNA ∪ (sire)
  • Ley de DeMorgan I: (UNAsi)do = UNAdosido
  • Ley II de DeMorgan: (UNAsi)do = UNAdosido